Ce modèle mathématique provient du travail de trois chercheurs; Fischer Black, Myron Scholes et Bob Merton. Leurs recherches ont mérité le prix Nobel de l’économie en 1997. Les options étaient déjà fréquemment transigées sur les marchés boursiers, mais il n’y avait aucune méthode mathématique précise pour trouver le prix théorique que devrait valoir une option. Les investisseurs avaient une idée générale de ce qui pouvait influencer le prix d’une option, mais cette formule vient confirmer le tout et vient aussi établir la relation causale entre toutes les variables.
Voici la formule du modèle Black-Scholes-Merton:
L’équation C évalue le prix d’une option d’achat (call option) alors que l’équation P calcule le prix d’une option de vente (put option). De plus, les variables d1 ainsi que d2 possèdent leur propre formule dans ce modèle:
À première vue, cette formule est imposante mais il suffit d’expliquer chacune des 5 variables utilisées:
S = Prix actuel de l’action
X = Prix d’exercice de l’option
T = Temps restant avant l’expiration de l’option, en pourcentage d’une année
r = Taux d’intérêt sans risque
σ = volatilité implicite du prix de l’action, mesurée par un décimal
Dans cet article, il a été démontré que ces 5 variables avaient en effet une influence directe sur le prix d’une option, mais maintenant nous voyons le tout sous la forme d’équation. Cependant, il y a aussi certaines suppositions que le modèle utilise:
Options de type européen
Les options européennes ont la particularité de pouvoir se faire exercer seulement à la date d’expiration, contrairement aux options américaines qui peuvent se faire exercer à tout moment avant la date d’expiration. Le fait de pouvoir choisir la date de levée pour les actions américaines leurs procure une plus grande valeur aux yeux des investisseurs.
Aucun dividende
Ce modèle assume que l’action sous-jacente ne verse aucun dividende pour toute la durée de l’option. En pratique, plusieurs actions sur les marchés boursiers versent des dividendes régulièrement. Le versement des dividendes fait diminuer le cours de l’action, et donc diminuera aussi le prix des options d’achats. Une version subséquente de ce modèle est venue corriger cette lacune.
Marché efficients
La formule BSM assume aussi que les marchés sont efficients, c’est-à-dire que tout est valorisé de façon rationnelle et qu’aucune opportunité d’arbitrage n’est présente sur les marchés. Cependant, nul ne peut nier que les marchés financiers agissent souvent de manière irrationnelle, surtout à court terme.
Aucune commission ni impôt
Malgré que la levée d’une option peut entraîner certains frais et commissions, ce modèle assume qu’il n’y en a pas. Les impôts exigibles suite à la vente sont aussi ignorés quoique c’est une réalité très importante pour un investisseur.
Invariabilité de du taux d’intérêt et de la volatilité
Le taux d’intérêt sans risque et la volatilité implicite du prix de l’action doivent demeurer constants pour la durée de l’option. En pratique, le taux d’intérêt peut changer régulièrement selon les taux directeurs, alors que la volatilité du cours de l’action peut aussi avoir de grandes variations dans le temps.
Rendements normaux
Les rendements réalisés sujivent le modèle d’une distribution normale afin que l’approche logarithmique soit valide.
Décomposition de la formule
La formule pour trouver la valeur théorique de l’achat d’option d’achat et l’option de vente peut être décomposée en deux parties distinctes.
est le prix actuel de l’action multiplié par la valeur du tableau correspondant au résultat de la formule d1.
est le prix d’exercice qu’il faut actualiser, pour ensuite le multiplier par la valeur du tableau correspondant au resultat de la formule d2.
Tout ceci est logique car une option d’achat devrait effectivement valoir le prix de l’action aujourd’hui soustrait de son prix d’exercice. Il suffit donc de regarder en détails les formules d1 et d2. Quoique en apparence plus complexe, la formule pour d1 démontre les caractéristiques suivantes:
- Plus le prix de l’action (S) est élevé, plus la valeur de d1 sera élevée
- Plus la volatilité augmente (σ), plus d1 sera élevé aussi puisque la volatilité apparaît au numérateur et au dénominateur
- Plus le temps avant expiration augmente (T), plus d1 sera élevé aussi
La formule d2 est utilisée pour déterminer la valeur de P, donc l’option d’achat de vente. D2 est très semblable à d1, sauf que la volatilité enlève de la valeur à d2, et la volatilité est précédée du signe négatif dans la formule.
Tous les éléments de la formule sont donc en accord avec les facteurs qui expliquent la valeur des options.
Exemple numérique
Combien devrait théoriquement coûter une option d’achat qui expire dans 90 jours, avec un prix d’exercice a 40$ alors que l’action vaut 35$ en ce moment? Le taux d’intérêt sans risque est de 2% et la volatilté de l’action est 0,25. Remplaçons les variables dans la formule.
S = 35$
X = 40$
T = 90/365 = 0,2466
r = 2%
σ = 0,25
La première étape est de trouver la valeur de d1 et d2:
d1 = (ln (35/40) + ( 0,02 +(0,25² / 2)) 0,2466) / (0,25 * √0,2466)
d1: (-0,134) + (0,02 + (0,0625 / 2)) 0,2466 / 0,1241
d1: (-0,134) + (0,02 + (0,03125)) 0,2466 / 0,1241
d1: (-0,134) + (0,05125) 0,2466 / 0,1241
d1: (-0,134) + 0,0126 / 0,1241
d1 = -0,9738
Vu que d2 = d1 – σ √t
d2 = -0,9738 – (0,25 * √0,2466)
d2 = -0,9738 – (0,124)
d2 = -1.0980
Ensuite, il faut prendre les valeurs d1 et d2 trouvées afin de les convertir à l’aide d’une table cumulative de la loi de distribution normale:
Les valeurs trouvées en d1 et d2 étant négatives, il faut faire 1 – 0,8340 et 1-0,8643 respectivement. Cette table cumulative des probabilitéé sera expliquée en détails lors d’un prochain article. En remplaçant les valeurs de N d1 et N d2 dans la formule, la valeur théorique d’une option d’achat d’action est 0.36$.
= (35$ prix actuel *0,1660 valeur trouvée dans le tableau pour d1)- (40$ prix d’exercice * EXP(-2% taux d’intérêt sans risque *,0
2466) * 0,1357 valeur trouvée dans le tableau pour d1)
≅ 0.36$ dépendant des arrondissements
Les calculs manuels peuvent aussi être confirmés par de nombreuses calculatrices du modèle disponibles sur internet, où le coût théorique est visible après avoir entré les variables manquantes. Suivez ce lien pour un exemple d’une telle calculatrice.
Quoique ce modèle utilise plusieurs suppositions qui limitent son utilité en pratique, il a créé le fondement théorique pour la valorisation des options.
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