Écart type d’un produit financier

L’écart type est une mesure de dispersion très utilisée dans le monde des finances. Cette mesure illustre comment les rendements d’un produit financier sont distribués autour de sa moyenne. Plus les résultats sont dispersés, plus l’écart type sera élevé. Plusieurs logiciels et sites internet publient déjà l’écart type d’un produit financier, mais voici les étapes à suivre pour ceux qui veulent comprendre son origine.

Supposons que nous cherchons l’écart type de la dernière année pour un portefeuille d’actions. Nous avons les 12 rendements mensuels suivants:

+1%     -0,8%     +2,8%     +3,1%     -4%     +0,2%     +6%     -2%     -5%     +1%     +3%     +5%

1 – La première étape est de calculer la moyenne mensuelle de ces rendements. Pour se faire, il suffit d’additionner les 12 rendements obtenus et diviser la somme par le nombre de rendements mensuels.

Somme = +1% -0,8% +2,8% +3,1% -4% +0,2% +6% -2% -5% +1% +3% +5%
Somme = 10,30%
Nombre de rendements mensuels = 12
Moyenne = 10,30% / 12 = 0,86% par mois en arrondissant

2 – La deuxième étape est de calculer la différence entre chacun des mois de la période étudiée avec la moyenne de cette période. Après avoir trouvé la moyenne, il faut maintenant savoir la volatilité des rendements, c’est-à-dire si les rendements mensuels sont toujours proches de la moyenne, ou s’il y a beaucoup de fluctuations mois après mois. Voici un tableau qui résume les calculs pour cette étape:

3 – Il faut ensuite prendre ces différences trouvées et les élever au carré, donc multiplier la différence avec la moyenne par elle-même. Ceci est valable pour chacun des mois de notre exemple. Ces calculs donnent des réponses assez précises, alors nous avons simplifier les choses en arrondissant également à cette étape.

Cette étape élimine les données négatives du tableau.

4 – La quatrième étape est de calculer la moyenne des données trouvées à l’étape précédente. Pour trouver la moyenne, il est nécessaire, en premier lieu, de faire la somme:

Somme = 0.000201 + 0.027501 + 0.037701 + 0.050251 + 0.236034 + 0.004334 + 0.264367 + 0.081701 + 0.343201 + 0.000201 + 0.045867 + 0.171534
= 1.262892

En divisant cette somme par le nombre de variables, nous obtenons:

= 1.262892 / 12
= 0.10524097 = moyenne des différences au carré

La donnée obtenue 0.10524097 s’appelle la variance du produit financier.

5 – Il reste une dernière opération mathématique pour convertir la variance en écart type. Il s’agit de faire la racine carrée (√) de la variance

Racine carrée (√) 0.10524097 = 0.03244087

0.03244087 est donc l’écart type de notre série de 12 rendements mensuels. Cette statistique par elle-même n’est pas significative car elle doit se comparer à un autre produit pour pouvoir comparer la performance relative. Cette mesure s’insère dans plusieurs ratios financiers, comme le ratio de Sharpe, et peut servir de base pour analyser les relations risque/rendement des produits financiers.

Nombre décimaux

Dans l’exemple ci-dessus, nous avons préserver les valeurs en pourcentages, donc en nombres décimaux. Ceci est la raison pour laquelle les données suite aux calculs de la différence avec la moyenne au carré était assez petites. Nous aurions pu également refaire tout cet exercice en multipliant par 100 à la troisième étape afin d’éliminer les pourcentages.

La somme de ces différences avec la moyenne au carré donnerait 126.289167, donc une donnée 100 fois plus élevée que dans l’exemple. Ensuite, en divisant par 12 rendements mensuels, nous obtenons une variance 10.5240972, , et finalement un écart type 3.2440865 après avoir fait la racine carrée (√).

Dépendant de la situation, un changement des données avec une multiplication pourrait être bénéfique. Par exemple, un pourcentage de 8% est équivalent à 0,08 alors l’écart type serait 0.03244087 si nous utilisons des nombres décimaux. Si une personne préfère travailler avec un pourcentage de 8% comme étant 8, un nombre entier, en utilisant l’écart type de 3.2440865 elle va pouvoir faire une analyse en comparant le même type de données.

Population ou échantillon

L’écart type peut être calculé pour une population ou pour un échantillon. Dans notre cas, puisque nous cherchions à trouver l’écart type de la dernière année, et que nous avions tous les rendements mensuels, ceci est une population. L’écart type d’un échantillon est utilisé lorsque nous n’avons pas toutes les données, et que nous désirons trouver l’écart type à partir de données partielles. Ceci est un concept qui relève plutôt du domaine des statistiques, mais dans le secteur des finances nous utilisons le concept d’écart type pour un échantillon pour des prévisions. Ce concept sera détaillé dans un prochain article.

Pour trouver l’écart type d’un échantillon, toutes les étapes sont les mêmes sauf l’étape numéro 4. Pour obtenir la moyenne des différences avec la moyenne au carré, il faut diviser la somme obtenue par 11 au lieu de 12.

Nouveau diviseur pour un écart type de l’échantillon = nombre de variables – 1
= 12 rendements mensuels dans notre exemple – 1
=11

Dans notre exemple, cela donnerait le calcul suivant:

= 1,262892 / 11
= 0.00114083 serait la nouvelle variance du produit financier

Donc l’écart type est la racine carré (√)  de cette donnée = 0.03388338

L’écart type d’un échantillon sera toujours plus grand que pour une population, car cela va compenser pour l’incertitude de ne pas avoir la totalité des données. Cette incertitude sera traduit par un écart type plus élevé, donc plus de risque de volatilité.